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二項式定理教案

2023-08-11   來源:萬能知識網(wǎng)

二項式定理教案

§3.1.1 二項式定理(1)

[教學(xué)目標(biāo)]


(資料圖片僅供參考)

掌握二項式定理的內(nèi)容,會求多項式的二項展開式,二項式系數(shù)以及二項展開式的通項;經(jīng)歷二項式定理的推導(dǎo)過程,體會歸納-猜想-論證的思想方法,發(fā)展探究能力.

[重點難點]

經(jīng)歷二項式定理的推導(dǎo)過程.

[教學(xué)過程]

一. 二項式定理的引入

123已知abab,aba22abb2,aba33a2b3ab2

4n的展開式,進而研究的展開式. abab

4ababababab,

0母的乘積,因而各項都是四次式: a4,a3b,a2b2,ab3,b4a4C4(每個括號都

1不取b),a3b的系數(shù)為C4(任取一個括號取ba),a2b2的系數(shù)為C42,

3ab3的系數(shù)為C4,b4的系數(shù)為C44.

40413244因此abC4aC4a3C4b.

1202122參照上式,有abb;abC2aC2abC2b;

312233 a3C3abC3ab2C3b.

二. n有

n1n1rnrrnnabCnabCnbnN* anCn

n右多項式叫做ab的二項展開式,共有n1項,其中各項的系數(shù)

rCnr0,1,2,,n叫做二項式系數(shù),式中的Cnranrbr叫做二項展開式的通項,它是展開式的第r1項,用Tr1表示,即Tr1Cnranrbr.

用組合數(shù)的方法證明二項式定理.

三. 例題與練習(xí)

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1例1 求x的二項展開式. x

141131221314142xC4xC4xC4解: xx4C4x4x6. xx2x4xx-xx42344

例2

求x的二項展開式.

5 5

例解 例解例證例解例7 求2x1的展開式的第4項的系數(shù).

3解: 2x1的展開式的第4項是T31C72x773713560x4.故所求系數(shù)為560.

335. 注: 第4項的二項式系數(shù)為C7

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§3.1.2 二項式定理(2)

[教學(xué)目標(biāo)]

進一步掌握二項式定理及其展開式的特點;體驗二項式系數(shù)的對稱性.

[教學(xué)過程]

一. 復(fù)習(xí)回顧

n ninii0n1n12n22nn1. 二項式定理:abCnabCnaCnabCnabCnb, 展開式共 i0

二 例 解

. 解 例

解例3 已知1x展開式中的第5,6,7項的系數(shù)成等差數(shù)列,求n的值.

546CnCnn7orn14. 解: 2Cn例4 求的二項展開式中的常數(shù)項. 6

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解: 設(shè)二項展開式中的常數(shù)項為第r1項,即

Tr1Cr16

6r6kk,由0k3. 33k

所以二項展開式中的常數(shù)項為T4

n205. 821例

2*解例解例解例證例解 1x992x993x99100x99123100x995050x99,所求系數(shù)為5050. 上海大學(xué)市北附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)

§3.2 二項式系數(shù)的應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

了解二項式系數(shù)表及其特征,掌握二項式系數(shù)的性質(zhì);體驗”楊輝三角”的優(yōu)美排列和數(shù)學(xué)規(guī)律. [重點難點]

二項式系數(shù)的性質(zhì). [教學(xué)過程]

一. 二項式系數(shù)表

n

將ab的展開式的二項式系數(shù)列表如下

1

11ab

2

121ab

3

1331ab 4

ab14641 5

1510105ab

6

16152015ab

n012n2n1n

CnCnCnCnCnab

二. 二項式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1 (對稱性),即CnrCnnr.

性質(zhì)2 (遞歸性)除1,即CnmCnm1Cnm1.

012n

CnCnCn2n. 性質(zhì)3 第n2n,即Cn

三. 例1 求證的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)

的和 n0n1n1rnrrnn

證: abCnaCnabCnabCnb,令a1,b1,得

nn123n

CnCn1Cn11Cn0Cn

022r132r1

0CnCnCnCnCnCn

022r132r1CnCnCnCnCnCn.

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例2 在二項式1x的展開式中,求含x的奇次項的系數(shù)和.

0122331313

解: 方法一 1xC13C13xC13xC13xC13x

1313

所以展開式中含x的奇次項的系數(shù)和為C13C13C13.

13

13

02121313例;

當(dāng)證例證四2233

x,Cnx,,xn的值也與零非常接近.所以1x1nx. 近,當(dāng)n不太大時, Cn

例5 求下列數(shù)的近似值:(1)1.0003;(2)0.998. 解: (1)1.000310.0003150.00031.0015;

5

5

54

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(2)0.99810.002140.0020.992.

§3.2 二項式定理習(xí)題課

n nrnrr

1.a(chǎn)bCnab;

r1

二 例 解

例 解 . 例 解

T一. 回憶復(fù)習(xí)二項式定理及性質(zhì)

例4 若12xa0a1xa2x2a7x7,求a1a2a3a7.

解: 令x1,則12a0a1a2a7,又a01,a1a2a3a72. 例5設(shè)12x

100

7

44

a0a1x1a2x1a100x1,求a1a3a5a99.

2100

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解: 令x2,則5100a0a1a2a100,令x0,則1100a0a1a2a100,

510012a1a3a99a1a3a99

1100

51. 2

例6

設(shè)2

100

a0a1xa2x2a100x100,求

2

2

解例證例解例解例解: anC22n

n2

2n481128 anCnnn1n1n

22232n

limnaan2a3111111

18. 8limnn1n2233

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例11 證明46n5n19nN*能被20整除. 證: 46n5n194515419

n1n1nn1n1n

45Cn5Cn5154Cn4Cn419

1n2n1

n1n11n2n1n

n

例證

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1.3.1二項式定理教案2016-09-08 22:41 | #2樓

1.3.1二項式定理

公主嶺第三高級中學(xué) 數(shù)學(xué)組——張鶴

一.三維目標(biāo)

1.知識與技能:了解二項式定理的形成和過程,掌握二項式定理,會用其展開式的通項求某一項。

2.過程與方法:了解二項式定理的推導(dǎo)過程進行類比,歸納推理推出二項式定理掌握二項式定理說明其應(yīng)用。

3.情感態(tài)度與價值觀:體會知識間的遞進關(guān)系。

二.德育目標(biāo)

1.提高學(xué)生的歸納推理能力

2.樹立由特殊到一般的歸納知識。

三,教學(xué)重點與難點

1.2.教學(xué)難點:運用多項式乘法及排列組合知識推導(dǎo)二項式定理的形成過程

授課類型:新授課 課時安排:1課時 教 具:多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析:

二項式定理是初中乘法公式的推廣,是排列組合知識的具體運用,是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ).這部分知識具有較高應(yīng)

用價值和思維訓(xùn)練價值.中學(xué)教材中的二項式定理主要包括:定理本身,通項公式,楊輝三角,二項式系數(shù)的性質(zhì)等.

通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識,同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧;進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用;重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成.

二項式定理本身是教學(xué)重點,因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ).通項公式,楊輝三角,特殊化方法等意義重大而深遠,所以也應(yīng)該是重點.二項式定理的證明是一個教學(xué)難點.這是因為,證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法.

在教學(xué)中,努力把表現(xiàn)的機會讓給學(xué)生,以發(fā)揮他們的自主精神;盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機會,以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系;盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識,以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí) 教學(xué)過程:

一、復(fù)習(xí)引入:

122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b;

1223⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各項都是4次式,

即展開式應(yīng)有下面形式的各項:a4,a3b,a2b2,ab3,b4, 展開式各項的系數(shù):上面4個括號中,每個都不取b的情況有1

1

種,即C40種,a4的系數(shù)是C40;恰有1個取b的情況有C4種,a3b的1系數(shù)是C4,恰有2個取b的情況有C42種,a2b2的系數(shù)是C42,恰有3

種,ab3的系數(shù)是C43,有4都取b的情況有C443個取b的情況有C4

種,b4的系數(shù)是C44,

132223344

∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b.

二、講解新課:

1nrnrrnn二項式定理:(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)

⑴(ab)n的展開式的各項都是n次式,即展開式應(yīng)有下面形式的各項:

an,anb,…,anrbr,…,bn,

⑵展開式各項的系數(shù):

每個都不取b的情況有1種,即Cn0種,an的系數(shù)是Cn0;

11

恰有1個取b的情況有Cn種,anb的系數(shù)是Cn,……,

恰有r個取b的情況有Cnr種,anrbr的系數(shù)是Cnr,……, 有n都取b的情況有Cnn種,bn的系數(shù)是Cnn,

1nrnrrnn

∴(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN),

這個公式所表示的定理叫二項式定理,右邊的多項式叫(ab)n的二項展開式,⑶它有n1項,各項的系數(shù)Cnr(r0,1,n)叫二項式系數(shù),

⑷Cnranrbr叫二項展開式的通項,用Tr1表示,即通項Tr1Cnranrbr. ⑸二項式定理中,設(shè)a1,bx,則

1rr(1x)n1CnxCnxx

三、講解范例:

例1.(1)展開(11)4.(2)

展開x

6

例2.(1)求(12x)7的展開式的第四項的系數(shù) 求(x1)9的展開式中x3的系數(shù)

x

練習(xí) (1)(12x)5___________ (2___________ (3) 第三項的系數(shù)是___________ 練習(xí) (1)求(2x3y)6的展開式的第三項 (2)求(3y2x)6的展開式的第三項

五、小結(jié) :二項式定理的探索思路:觀察——歸納——猜想—六、課后作業(yè):

A層次:習(xí)題1.3 T2 、T3 、 B習(xí)題T4(1)(2)

若(2x3

1n

)的展開式中,若常數(shù)項存在,則2x

n的最小值

七、板書設(shè)計

1.3.1二項式定理

(1)

0n1nrnrrnn

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

(2)二項式系數(shù) (3)Tr1Cnranrbr

r

(r=0,1,2........n) Cn

(4)二項式定理中,a1,bx

1rr

(1x)n1CnxCnxxn

例1

二項式定理教學(xué)案設(shè)計2016-09-08 13:51 | #3樓

《二項式定理(一)》教案設(shè)計

教材:人教A版選修2-3第一章第三節(jié)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:

(1)理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項式定理,能利用計數(shù)原理證明二項式定理.

2.過程與方法:

通過學(xué)生參與和探究二項式定理的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力,以及化歸的意識與方法遷移的能力,體會從特殊到一般的思維方式.

3. 情感、態(tài)度與價值觀:

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識,合作精神,體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹.

二、教學(xué)重點、難點

重點:用計數(shù)原理分析(ab)3的展開式,得到二項式定理.

難點:用計數(shù)原理分析二項式的展開過程,發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律.

三、教學(xué)過程

(一)提出問題,引入課題

引入:二項式定理研究的是(ab)n的展開式,如:(ab)2a22abb2,

(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展開式是什么?

【設(shè)計意圖】把問題作為教學(xué)的出發(fā)點,直接引出課題.激發(fā)學(xué)生的求知欲,明確本課要解決的問題.

(二)引導(dǎo)探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、多項式乘法的再認識.

問題1. (a1a2)(b1b2)的展開式是什么?展開式有幾項?每一項是怎樣構(gòu)成的?

問題2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展開式中每一項是怎樣構(gòu)成的?展開式有幾項?

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題,明確每一項的特征,為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備. 2、(ab)3展開式的再認識

探究1:不運算(ab)3,能否回答下列問題(請以兩人為一小組進行討論):

(1) 合并同類項之前展開式有多少項?

(2) 展開式中有哪些不同的項?

(3) 各項的系數(shù)為多少?

(4) 從上述三個問題,你能否得出(ab)3的展開式?

探究2:仿照上述過程,請你推導(dǎo)(ab)4的展開式.

【設(shè)計意圖】通過幾個問題的層層遞進,引導(dǎo)學(xué)生用計數(shù)原理對(ab)3的展開式進行再思考,分析

n各項的形式、項的個數(shù),這也為推導(dǎo)(ab)的展開式提供了一種方法,使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有

“法”可依.

(三) 形成定理,說理證明

探究3:仿照上述過程,請你推導(dǎo)(ab)n的展開式.

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二項式定理

證明:(ab)是n個(ab)相乘,每個(ab)在相乘時,有兩種選擇,選a或選b,由分步計數(shù)原理

nkkbk(k0,1,n)的形式,對于每一項ab,

它是由k個(ab)選了b,n-k個(ab)選了a得到的,它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(ab)中取k個n可知展開式共有2項(包括同類項),其中每一項都是annk

kb的組合數(shù)Cn,將它們合并同類項,就得二項展開式,這就是二項式定理.

1

【設(shè)計意圖】通過仿照(ab)3、(ab)4展開式的探究方法,由學(xué)生類比得出(ab)n的展開式.二項式定理的證明采用“說理”的方法,從計數(shù)原理的角度對展開過程進行分析,概括出項的形式,用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù),從而得出用組合數(shù)表示的展開式.

(四) 熟悉定理,簡單應(yīng)用

二項式定理的公式特征:(由學(xué)生歸納,讓學(xué)生熟悉公式)

1. 項數(shù):共有n1項.

2. 次數(shù):字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n.

各項的次數(shù)都等于n.

012knk3. 二項式系數(shù): 依次為Cn,這里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)稱為二項式系數(shù).

knkk4. 二項展開式的通項: 式中的Cnab叫做二項展開式的通項. 用Tk1表示.

knkk即通項為展開式的第k1項: Tk1=Cnab

變一變 (1)(ab)n (2)(1x)n

例. 求(2x16)的展開式. x

思考1:展開式的第3項的系數(shù)是多少?

思考2:展開式的第3項的二項式系數(shù)是多少?

思考3:你能否直接求出展開式的`第3項?

【設(shè)計意圖】熟悉二項展開式,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.

(五) 課堂小結(jié),課后作業(yè)

小結(jié)(由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想)

0n1n1knkknn1. 公式: (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2. 思想方法:1.從特殊到一般的思維方式. 2.用計數(shù)原理分析二項式的展開過程.

作業(yè)

鞏固型作業(yè):課本36頁習(xí)題1.3 A組 1、2、3

012kn思維拓展型作業(yè):二項式系數(shù)Cn有何性質(zhì). ,Cn,Cn,,Cn,,Cn

教案設(shè)計說明

二項式定理是初中乘法公式的推廣,是排列組合知識的具體運用,是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ).

本節(jié)課的教學(xué)重點是“使學(xué)生掌握二項式定理的形成過程”,在教學(xué)中,采用“問題――探究”的教學(xué)模式, 把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段.讓學(xué)生體會研究問題的方式方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力,以及化歸意識與方法遷移的能力,體會從特殊到一般的思維方式,讓學(xué)生體驗定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程.

本節(jié)課的難點是用計數(shù)原理分析二項式的展開過程,發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律.在教學(xué)中,設(shè)置了對多項式乘法的再認識,引導(dǎo)學(xué)生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題,明確每一項的特征,為后面二項展開式的推導(dǎo)作鋪墊.再以(ab)為對象進行探究,引導(dǎo)學(xué)生用計數(shù)原理進行再思考,分析各項以及項的個數(shù),這也為推導(dǎo)(ab)的展開式提供了一種方法,使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有“法”可依.

總之,本節(jié)課遵循學(xué)生的認識規(guī)律,由特殊到一般,由感性到理性.重視學(xué)生的參與過程,問題引導(dǎo),師生互動.重在培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,發(fā)現(xiàn)問題,歸納推理問題的能力,從而形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

n3

2

二項式定理教學(xué)設(shè)計2016-09-08 8:46 | #4樓

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo):掌握二項式定理及其簡單應(yīng)用

2.過程與方法:培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力,發(fā)現(xiàn)問題,探求問題的能力,邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。

3.情感態(tài)度和價值觀:培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì),感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學(xué)重點、難點

重點:二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式

難點:展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)問題情境:

今天是星期三,15天后星期幾,30天后星期幾,8100天后星期幾呢?

前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了,最后一個問題大家都很迷惑,有些學(xué)生試圖用計算器算,還是覺得很復(fù)雜,學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了,并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解:

問題1 abdc的展開式有多少項?有無同類項可以合并?

由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的,所以學(xué)生能夠快速的說出答案。

問題2 abb的ab原始展開式有多少項?有幾項是同類項?項是怎樣構(gòu)成a

的?有規(guī)律嗎?

學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論

問題3 abbaa2bab的3原始展開式有多少項?經(jīng)合并后又只能有幾項?是哪幾項?

學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案

問題4 abbaaba的bab的原始展開式有多少項?

44問題5 你能準(zhǔn)確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎?經(jīng)合并后,又只能有哪幾

項?

此時,學(xué)生能說出其中的一兩項,并不能全部回答出來所有的項,思維覺察到麻煩,困難,易出錯——借此“憤悱”之境,有效的實現(xiàn)思維的烘熱)

啟發(fā)類比:4個袋中有紅球a,白球b各一個,每次從4個袋子中各取一個球,有什么樣的取法?各種取法有多少種?

在4個括號(袋子)中

問題6 其個數(shù),為何恰好應(yīng)為該項的系數(shù)?

nrr

問題7 ab在合并后的展開式中,ab的系數(shù)應(yīng)該是多少?有理由嗎?

n

問題8 那么,該如何將ab輕松、清晰地展開?請同學(xué)們歸納猜想 學(xué)生們快速地說出

n

ab

n

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識的嚴(yán)謹性,大家猜想地很正確,那么我們怎么來證明呢?

思路:證明中主要運用了計數(shù)原理!

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項?

ab

n

是n個ab相乘,展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相

nk

乘得到的,每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數(shù)是怎么來的?

bk的形式,k0,1,2,,n

k

ankbk是從n個ab中取k個b,和余下nk個a相乘得到的,有Cn種情況可以得到

kankbk,因此,該項的系數(shù)為Cn

定義:一般地,對于任意正整數(shù)n,上面的關(guān)系式也成立,即有

ab

n

0n1n1n2n22knkknn

CnaCnabCnabCnabCnbnN*

n

注:(1)公式左邊叫做二項式,右邊叫做ab的二項展開式

(2)定理中的a,b僅僅是一種符號,它可以是任意的數(shù)或式子什么的,只要是兩項相加的n次冪,就能用二項式定理展開

例:把b換成b,則

ab

n

0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

k

n

練習(xí):令a1,bx,則

1x

n

01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

問題9 二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么?哪一項最有代表性

公式特征:

(1) 項數(shù):共有n1項

(2) 指數(shù)規(guī)律: ① 各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n(關(guān)于a與b的齊次多項式) ② 字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n

knkk(3) 二項式展開式的通項:Tk1Cnab,k0,1,2,,n

012knk(4) 二項式系數(shù):依次為Cn。這里Cn(k0,1,2,,n)稱為二,Cn,Cn,Cn,Cn

項式系數(shù)

現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎?

思考了一會兒,馬上有同學(xué)大聲喊:把8寫成7+1,再進行展開,余數(shù)是多少,就是星期幾 老師故意問:為什么要寫成7+1,這時,所有學(xué)生都明白了,因為一個星期7天,所以

n810071展開式中除了最后一項外,其余的項都是7的倍數(shù),因此余數(shù)為Cn1,故100

應(yīng)為星期四。

例1

求的展開式 方法一:直接展開 11

技巧:將根式先化成冪的形式,再進行計算,要簡單很多。即原式變成2x2x2 66

方法二:先合并化簡,再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一:展開式中的常數(shù)項是多少?

變式二:展開式中的第3項是多少?

變式三:展開式中的第3項的系數(shù)是多少?

變式四:展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少?

注意:二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念,二項式系數(shù)就是一個組合數(shù),與a,b無關(guān);系數(shù)與a,b有關(guān)。

例2 (1)求(12x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)

13 (2)x的展開式中x的系數(shù)和中間項 x

例3 求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項

小結(jié):(1)注意二項式定理中二項展開式的特征

(2)區(qū)別二項式系數(shù)、項的系數(shù)

(3)掌握用通項公式求二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項。

作業(yè):P37 4,5

教學(xué)反思:本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境,一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動起來了,當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時,老師由淺入深的提問,最后問到81009天后星期幾,從而引出今天的課題:二項式定理。給大家設(shè)置這個懸念后,緊接著又進行一系列的問題教學(xué),讓學(xué)生自己去探究去回答,最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式,整個過程順理成章地完成。

1.知識與技能:

(1)理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣.

(2)理解并掌握二項式定理,能利用計數(shù)原理證明二項式定理.

2.過程與方法:

通過學(xué)生參與和探究二項式定理的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的

能力,以及化歸的意識與方法遷移的能力,體會從特殊到一般的思維方式.

3. 情感、態(tài)度與價值觀:

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識,合作精神,體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,

體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹.

二、教學(xué)重點、難點

重點:用計數(shù)原理分析 的展開式,得到二項式定理.

難點:用計數(shù)原理分析二項式的展開過程,發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各

項系數(shù)的規(guī)律.

一、說教材

1、地位及作用:

二項式定理安排在高中數(shù)學(xué)選修2-3第三節(jié),是排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容,其形成過程是組合知識的應(yīng)用,同時也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識及概率與統(tǒng)計,作知識上的鋪墊。

二項展開式與多項式乘法有密切的聯(lián)系,本節(jié)知識的學(xué)習(xí),必然從更廣的視角和更高

的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題,例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。

2、重點難點分析:

重點:

(1)使學(xué)生參與并深刻體會二項式定理形成過程,掌握二項式系數(shù)的規(guī)律。

(2)能夠應(yīng)用二項式定理、對二項式進行展開。

難點:

運用多項式乘法以及組合知識推導(dǎo)二項式定理的過程。

A.知識與技能

(1)使學(xué)生參與并探討二項式定理的形成過程,掌握二項式系數(shù)、字母的冪次、

展開式項數(shù)的規(guī)律。

(2)能夠應(yīng)用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開。

B.過程與方法

通過二項式定理的推導(dǎo)過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察,猜想,歸納的能力。

C.情感態(tài)度與價值觀

(1)通過學(xué)生自主參與和探討二項式定理的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣

和信心。

(2)通過學(xué)生自主參與和探討二項式定理的形成過程,使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧對稱美。

三﹑說教法和學(xué)法

1、教法

為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),讓學(xué)生主動探索展開式的由來是關(guān)鍵。本節(jié)課的教法貫

穿啟發(fā)式教學(xué)原則,采用多媒體輔助教學(xué)方法,以“引導(dǎo)思考”為核心,設(shè)計課件展示,并引導(dǎo)學(xué)生沿著積極的思維方向,逐步達到即定的教學(xué)目標(biāo),發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力;同時,考慮到學(xué)生的個體差異,在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)進行分層施教,實現(xiàn)“有差異”的發(fā)展。

2 、學(xué)法

根據(jù)學(xué)生思維的特點,遵循“教必須以學(xué)為主”的教學(xué)理念,讓每一個學(xué)生自主參與整

堂課的知識構(gòu)建。在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進行類比遷移,對照學(xué)習(xí)。

3 、教學(xué)手段

利用電腦,投影儀等多媒體教學(xué)展現(xiàn)二項式定理的推導(dǎo)過程,激發(fā)學(xué)生的的興趣。

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(尤其在法律、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域),建議您咨詢相關(guān)領(lǐng)域?qū)I(yè)人士。

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