證明面面垂直的方法及定理

面面垂直可不好證明，這是要合適的證明方法的，不然證明就會出錯。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的證明面面垂直的方法內(nèi)容，希望大家喜歡。

證明面面垂直的方法

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.

【資料圖】

對角線的點積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

兩組對邊平方和分別為：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

則AB2+CD2=AD2+BC2等價于#BD·#BC=#BD·#BA等價于#AC·#BD=0

所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個平面的"垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

面面垂直學(xué)生如何證明

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率 兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

平面平行與平面垂直的知識點

1. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.(“線面平行，面面平行”)

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行;平行于同一平面的兩個平面平行.

[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.(“面面平行，線線平行”)

4. 兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.

兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.(“線面垂直，面面垂直”)

注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.

5. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，

因為則.

6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：(為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有)