行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。行列式的定義是什么?以下是小編為大家整理的關(guān)于行列式的定義，歡迎大家前來閱讀!

行列式的定義

一個矩陣A的行列式有一個乍看之下很奇怪的定義：

其中 s g n(σ)是排列σ的符號差。

【資料圖】

對于比較小的矩陣，比如說二階和三階的矩陣，行列式表達(dá)如下，有些像是主對角線(左上至右下)元素的乘積減去副對角線(右上至左下)元素的乘積(見圖中紅線和藍(lán)線)。

2階： 3階：。 但對于階數(shù)較大的矩陣，行列式有 n!項，并不是這樣的形式。

二維向量組的行列式

行列式是向量形成的平行四邊形的面積

設(shè) P是一個二維的有向歐幾里得空間，即一個所謂的歐幾里得平面。兩個向量 X和 X’的行列式是：

經(jīng)計算可知，行列式表示的是向量 X和 X ’形成的平行四邊形的 有向面積。并有如下性質(zhì)：

行列式為零當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量共線(線性相關(guān))，這時平行四邊形退化成一條直線。 如果以逆時針方向為正向的話，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當(dāng)且僅當(dāng)向量 X和 X’逆時針排列(如圖)。 行列式是一個雙線性映射。

三維向量組的行列式

設(shè) E是一個三維的有向歐幾里得空間。三個三維向量的行列式是：

這時的行列式表示 X、 X’和 X’’三個向量形成的平行六面體的 有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質(zhì)：

行列式為零當(dāng)且僅當(dāng)三個向量共線或者共面(三者線性相關(guān))，這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。 這時行列式是一個 “三線性映射”，也就是說，對第一個向量有 ，對第二、第三個向量也是如此。

基底選擇

在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基下分解，實際上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。這并不是說平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，基底變換可以看作線性映射對基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底變換對“體積”的影響?？梢宰C明，對于所有同定向的標(biāo)準(zhǔn)正交基底，向量組的行列式的值是一樣的。也就是說，如果我們選擇的基底都是“單位長度”，并且兩兩正交，那么在這樣的基底之下，平行六面體的體積是唯一的。

線性變換

經(jīng)線性映射后的正方體

設(shè) E是一個一般的 n維的有向歐幾里得空間。一個線性變換把一個向量線性地變?yōu)榱硪粋€向量。比如說，在三維空間中，向量 (x,y,z)被射到向量 (x’,y’,z’)：

其中 a、 b、 c等是系數(shù)。如右圖，正方體(可以看作原來的一組基形成的)經(jīng)線性變換后可以變成一個普通的平行六面體，或變成一個平行四邊形(沒有體積)。這兩種情況表示了兩種不同的線性變換，行列式可以將其很好地分辨出來(為零或不為零)。

更詳細(xì)地說，行列式表示的是線性變換前后平行六面體的體積的變化系數(shù)。如果設(shè)左邊的正方體體積是一，那么中間的平行六面體的(有向)體積就是線性變換的行列式的值，右邊的平行四邊形體積為零，因為線性變換的行列式為零。這里我們混淆了線性變換的行列式和向量組的行列式，但兩者是一樣的，因為我們在對一組基作變換。

嚴(yán)格的定義

由二維及三維的例子，我們可以看到一般的行列式應(yīng)該具有怎樣的性質(zhì)。為了描述一個 n 維空間中的“平行多面體”的“體積”，行列式首先需要是 線性的，這可以由面積的性質(zhì)得到。這里的線性是對于每一個向量來說的，因為當(dāng)一個向量變?yōu)樵瓉淼?a倍時，“平行多面體”的“體積”也變?yōu)樵瓉淼?a倍。其次，當(dāng)一個向量在其它向量組成的“超平面”上時，“平行多面體”的“體積”是零(可以想象三維空間的例子)。也就是說，當(dāng)向量 線性相關(guān)時，行列式為零。于是可以得出行列式的定義：

向量組的行列式

行列式是 E到 K上的交替多線性形式。

具體來說，設(shè) E是一個內(nèi)積空間，一個從 E到 K上的交替多線性形式是指函數(shù)：

(多線性) 或者說，當(dāng) a i= a j的時候 (交替性) 所有 E到 K上的交替多線性形式的集合記作 An(E)。

定理： An(E)的維度是1，也就是說，設(shè)是 E的一組基，那么，所有的交替多線性形式都可以寫成

其中是在基 B下的展開。 定理的證明是對任一個多線性形式，考慮將 D依照多線性性質(zhì)展開，

這時，由交替性，當(dāng)且僅當(dāng) 是的一個排列，所以有

這里， 。

向量組的行列式設(shè)是 E的一組基， 基B的行列式就是唯一的(由定理可知)交替多線性形式使得：

det B( e1,..., e n) = 1 于是向量組 的行列式就是

其中是在基 B下的展開。 這個公式有時被稱作萊布尼茲公式。

基變更公式設(shè) B與 B’是向量空間中的兩組基，則將上式中的 detB改為 detB’就得到向量組在兩組基下的行列式之間的關(guān)系：

矩陣的行列式

設(shè) M n( K)為所有定義在 K上的矩陣的集合。將矩陣 A的元素為 A=(aij)。將矩陣 M的 n 行寫成， aj可以看作是上的向量。于是可以定義 矩陣A的行列式為向量組的行列式，這里的向量都在的正交基上展開，因此矩陣的行列式不依賴于基的選擇。

這樣定義的矩陣 A的行列式與向量組的行列式有同樣的性質(zhì)。單位矩陣的行列式為1，若矩陣的兩行線性相關(guān)，則行列式為零。

由萊布尼茲公式，可以證明矩陣行列式的一個重要性質(zhì)：一個矩陣的行列式等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式。

也就是說矩陣的行列式既可以看作 n 個行向量的行列式，也可以看作 n 個列向量的行列式。

證明：矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式是：

令 j= σ( i)，由于每個排列都是雙射，所以上式變成：

令τ = σ ，當(dāng) σ 取遍所有排列時，τ 也取遍所有排列，而且 σ 的符號差等于 τ 的符號差。所以

線性映射的行列式設(shè) f是 n維線性空間 E到自身的線性變換(線性自同態(tài))， f在 E的任意一組基下的變換矩陣的行列式都是相等的。設(shè) B是 E的一組基。那么 f的行列式就是 f在 B下的變換矩陣的行列式：

之前對正方體做變換時， x1, ..., xn是原來的基，，因此可以混淆向量組的行列式和線性變換的行列式。

考慮映射 d f, B使得 x1, ..., xn被映射到

d f, B是一個交替n線性形式，因此由前面證的定理， d f, B和 d e t B只相差一個系數(shù)。

令 x1, ..., xn等于 B，則得到

λ = d f, B( B) 所以有

也就是說

對于另外一組基 B"，運用基變更公式，可以得到 du, B(B)等于 du, B " (B " )。于是 d f, B( B) 是一個不依賴于基，只依賴于 f的數(shù)。這正是 det f的定義。

特別地，行列式為 1 的線性變換保持向量組的行列式，它們構(gòu)成一般線性群 GL(E)的一個子群 SL(E)，稱作特殊線性群?？梢宰C明， SL(E)是由所有的錯切生成的，即所有具有如下形式的矩陣代表的線性變換：

也就是說，錯切變換保持向量組形成的“平行多面體”的體積。同樣，可以證明兩個相似矩陣有相等的行列式。

行列式基本介紹

行列式簡介

行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。 [1]其定義域為nxn的矩陣 A，取值為一個標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中(比如說換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。 行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來確定線性方程組解的個數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。

特性

行列式的特性可以被概括為一個多次交替線性形式，這個本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。

若干數(shù)字組成的一個類似于矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括號，而行列式則用線段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的積的代數(shù)和，既是一個實數(shù)：求每一個積時依次從每一行取一個元因子，而這每一個元因子又需取自不同的列，作為乘數(shù)，積的符號是正是負(fù)決定于要使各個乘數(shù)的列的指標(biāo)順序恢復(fù)到自然順序所需的換位次數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)。也可以這樣解釋：行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項的符號由積的各元素的行指標(biāo)與列指標(biāo)的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項為正;若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項為負(fù)。

逆序數(shù)

在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數(shù)是4，為偶排列。

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行列式應(yīng)用

求特征值：給定一個n階矩陣A，n階非零列向量x，令A(yù)x=λx，則稱λ為A的特征值，x為A的特征向量。通過變形得行列式[A-λE]=0值時，上式成立，而此行列式為零，即Σf(λ)=0即解一元n次方程，求出特征值。

多變元微積分的代換積分法(參見雅可比矩陣) 在 n個 n維實向量所組成的平行多面體的體積，是這些實向量的所組成的矩陣的行列式的絕對值。以此推廣，若線性變換可用矩陣 A表示， S是 R的可測集，則 f( S)的體積是 S的體積的倍。朗斯基行列式

行列式的基本性質(zhì)

n介行列式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：行列式與他的轉(zhuǎn)置行列式相等。

性質(zhì)2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號。

推論：若一個行列式中有兩行的對應(yīng)元素(指列標(biāo)相同的元素)相同，則這個行列式為零。

性質(zhì)3：行列式中某行的公共因子k,可以將k提到行列式外面來。

推論：行列式中有兩行(列)元素對應(yīng)成比例時，該行列式等于零。

性質(zhì)4：行列式具有分行(列)相加性。

推論：如果將行列式某一行(列)的每個元素都寫成m個數(shù)(m為大于2的整數(shù))的和，則此行列式可以寫成m個行列式的和。

性質(zhì)5：行列式某一行(列)各元素乘以同一個數(shù)加到另一行(列)對應(yīng)元素上，行列式不變。

性質(zhì)6：將一行(列)的k倍加進(jìn)另一行(列)里，行列式的值不變。 注意：一行(列)的k倍 加上另一行(列)，行列式的值改變。

其它性質(zhì)

若A是可逆矩陣， 設(shè) A‘為 A的轉(zhuǎn)置矩陣， (參見共軛) 若矩陣相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之積。這可由矩陣必和其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相似推導(dǎo)出。

行列式的展開

余因式(英譯：cofactor)

又稱“余子式”、“余因子”。參見主條目余因式對一個 n階的行列式 M，去掉 M的第 i行第 j列后形成的 n-1階的行列式叫做 M關(guān)于元素 mij的 子式。記作 M i j。

余因式為 Cij=(-1)^(i+j)*Mij

代數(shù)余子式

在n階行列式中，把(i，j)元aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做(i，j)元aij的余子式，記作Mij：記

Aij=(-1)i+j Mij

Aij叫做(i，j)元aij的代數(shù)余子式

行和列的展開

一個 n階的行列式 M可以寫成一行(或一列)的元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，叫作行列式按一行(或一列)的展開。

這個公式又稱作拉普拉斯公式，把 n階的行列式計算變?yōu)榱?n個 n-1階行列式的計算。

行列式函數(shù)

由拉普拉斯公式可以看出，矩陣 A的行列式是關(guān)于其系數(shù)的多項式。因此行列式函數(shù)具有良好的光滑性質(zhì)。

單變量的行列式函數(shù)設(shè)為的函數(shù)，則也是的。其對 t的導(dǎo)數(shù)為

矩陣的行列式函數(shù)函數(shù)是連續(xù)的。由此，n階一般線性群是一個開集，而特殊線性群則是一個閉集。

函數(shù)也是可微的，甚至是光滑的()。其在 A處的展開為

也就是說，在裝備正則范數(shù)的矩陣空間Mn()中，伴隨矩陣是行列式函數(shù)的梯度

特別當(dāng) A為單位矩陣時，

可逆矩陣的可微性說明一般線性群GLn()是一個李群。

行列式與線性方程組

行列式的一個主要應(yīng)用是解線性方程組。當(dāng)線性方程組的方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，方程組不一定總是有唯一解。對一個有 n個方程和 n個未知數(shù)的線性方程組，我們研究未知數(shù)系數(shù)所對應(yīng)的行列式。這個線性方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)它對應(yīng)的行列式不為零。這也是行列式概念出現(xiàn)的根源。

當(dāng)線性方程組對應(yīng)的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計算量巨大，因此并沒有實際應(yīng)用價值，一般用于理論上的推導(dǎo)。

行列式在數(shù)學(xué)中，是一個函數(shù)，其定義域為的矩陣A，取值為一個標(biāo)量，寫作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中(比如說換元積分法中)，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。

高階行列式的計算

本程序內(nèi)容

]窗體代碼如下b]

Option Explicit

Option Base 1

Private Sub Form_Load()

Dim i As Long

n = Val(InputBox("請輸入行列式的階數(shù)!", "輸入框"))

If n < 2 Then

MsgBox "輸入錯誤階數(shù)必須大于1!" & vbCrLf & "請單擊重試重新輸入!", vbCritical, "系統(tǒng)提示"

Exit Sub

Command2.TabIndex = 1

End If

If n > 9 Then

MsgBox "輸入錯誤本程序只能計算10階以下的行列式!" & "請單擊重試重新輸入!", vbCritical, "系統(tǒng)提示"

Exit Sub

Command2.TabIndex = 1

End If

str2 = "1"

For i = 2 To n

str2 = str2 & i "組成1到n組成的字符串123456.....n

Next i

s = n

MsgBox "請在文本框里按行排列輸入行列式" & vbCrLf & "注意用一個空格隔開!", vbOKOnly, "信息提示"

Text1.TabIndex = 1

Text1.Text = ""

End Sub

Private Sub Command1_Click()

Dim i As Long, j As Long, k As Long, m As Long, sum As Long, w As Long

Dim strb As String, sz1() As String, sz2() As Long, sz3() As Long

Dim str1 As String, str3 As String, st() As String

ReDim sa(n) As Long, sz2(n) As Long

"http://st() 為輸入行列式的字符串?dāng)?shù)組

"http://sz3()為二維行列式數(shù)組

"http://str2為1到n組成的字符串123456.....n 為全局變量

"http://str3為str2的全排列所組成的字符串每種排列以“，”隔開

str1 = Text1.Text

If Len(str1) < 2 * n ^ 2 - 1 Then

MsgBox "輸入錯誤!" & vbCrLf & n & "階行列式中元素個數(shù)應(yīng)為" & n ^ 2 & "!" & vbCrLf & "請查看是否個元素之間都用空格隔開及個數(shù)是否正確!" & vbCrLf & "請點擊重試重新輸入!", vbCritical, "系統(tǒng)提示"

Text1.Text = ""

Exit Sub

End If

st() = Split(str1) "取得行列式的數(shù)據(jù)

ReDim sz3(n, s) As Long

For i = 1 To n

For j = 1 To s

k = (i - 1) * s + j "按行排列行列式中第k個數(shù)，k與i,j的關(guān)系

sz3(i, j) = Val(st(k - 1)) "把原數(shù)組按行排列存入一個二維數(shù)組

Next j

Next i

Permutation "", str2, str3

sz1() = Split(str3, ",") "取n!個全排列存入 數(shù)組 sz1()

For j = 1 To JC(n)

m = 1 "每次都降m初始為1

strb = sz1(j) "每次取出一種排列存入strb

For i = 1 To n

sz2(i) = Val(Mid(strb, i, 1)) "順序取每個全排列中的數(shù)字存入數(shù)組sz2()

Next i

For i = 1 To n

m = m * sz3(sz2(i), i) "求元素之積

Next i

sum = sum + arr(sz2(), n) * m "n!個積相加并相應(yīng)冠上正負(fù)號

Next j

Text2.Text = sum

End Sub

Private Sub Command2_Click()

Dim i As Long

n = Val(InputBox("請輸入行列式的階數(shù)!", "輸入框"))

If n < 2 Then

MsgB

ox "輸入錯誤階數(shù)必須大于1!" & vbCrLf & "請單擊重試重新輸入!", vbCritical, "系統(tǒng)提示"

Exit Sub

Command2.TabIndex = 1

End If

If n > 9 Then

MsgBox "輸入錯誤本程序只能計算10階一下的行列式!" & "請單擊重試重新輸入!", vbCritical, "系統(tǒng)提示"

Exit

Sub

Command2.TabIndex = 1

End If

str2 = "1"

For i = 2 To n

str2 = str2 & i "組成1到n組成的字符串123456.....n

Next i

s = n

MsgBox "請在文本框里按行排列輸入行列式" & vbCrLf & "注意用一個空格隔開!", vbOKOnly, "信息提示"

Text1.Text = ""

End Sub

模塊1

遞

歸法求全排列

Option Explicit

Option Base 1

"遞歸求全排列并返回全排列所組成的字符串

"算法描述:

"以8位為例，求8位數(shù)的全排列，其實是8位中任取一位

"在后加上其余7位的全排列

"7 位：任取一位，其后跟剩下6位的全排列

"……

"這樣就有兩部分，一部分為前面的已經(jīng)取出來的串，另一部分為后面即將進(jìn)行的全排列的串

"參數(shù)pre即為前面已經(jīng)取出來的串

"參數(shù)s

即為將要進(jìn)行排列的串

"參數(shù)str即為返回全排列所組成的字符串，每種排列以“，”隔開

Public Sub Permutation(pre As String, s As String, str As String)

Dim i As Long

"http:// 如果要排列的串長度為1，則返回

If Len(s) = 1 Then

"http://將排列數(shù)以“，”隔開存入一個字符串

str = str & "," & pre & s

Exit

Sub

End If

"http:// for循環(huán)即是取出待排列的串的任一位

For i = 1 To Len(s)

"http:// 遞歸，將取出的字符并入已經(jīng)取出的串

"http:// 那么剩下的串即為待排列的串

Permutation pre & Mid$(s, i, 1), Left$(s, i - 1) & Mid$(s, i + 1), str

Next i

End Sub

模塊2

求逆序數(shù)

Option Explicit

Opt

ion Base 1

Public n As Long, s As Long, str2 As String

"http://求存入a()數(shù)組排列為奇排列還偶排列如果為奇排列返回-1，偶排列返回1

Public Function arr(a() As Long, ByVal n As Long) As Integer

Dim i As Long, j As Long, k As Long, m As Long

For i = 1 To n - 1

m = i

For j = m + 1 To n

If a(i) > a(j) Then k = k + 1

Next

Next

arr = (-1) ^ k

End Function

模塊3

遞歸法求階乘

Option Explicit

"http://遞歸法求階乘

Public Function JC(n As Long) As Double

If n < 2 Then JC = 1: Exit Function

JC = n * JC(n - 1)

End Function

基本控件如圖

command1為計算command2為重試

推廣到高階行列式

以上代碼只適用10階一下行列式的計算，原因是限于模塊1代碼遞歸法求全排列只能對123....89求全排列但大于9就出現(xiàn)了兩位數(shù)，不能再 返回其所要的全排列，但不是不能避免的，我們可以用單個字符來代替多位數(shù)，在返回全排列存入所需數(shù)組后再用ASCII 一一對應(yīng)返回其數(shù)值，再進(jìn)行計算，也許有人會說當(dāng)我們用完所有字符怎么辦呢，但100行列式我們要計算10000個數(shù)的全排列的逆序等，其計算量已是赫然10的160次方的大數(shù)，恐怕計算機(jī)也無能為力，再則那樣實際意義已經(jīng)不是很大!當(dāng)然，我們可以開發(fā)更好程序去計算，畢竟知識是無界的!

本代碼版權(quán)保留，僅供技術(shù)交流，不得用于商業(yè)用途!

更優(yōu)的算法

其實完全可以用二維數(shù)組完成如人的上三角算法,先判定aii是否為零，如是則交換至非零,再上減下直至上三角，再aii連乘即可，算法規(guī)模為n^3.至于更好的，可能還有。

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