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初中數(shù)學(xué)幾何解證明題的特殊定理

1。同角（或等角）的余角相等。

3。對(duì)頂角相等。

5。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

6。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

7。同位角相等，兩直線平行。

12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。

16。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

19。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。

21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

22。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。

24。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

25。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

27。正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

34。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。

36。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

37．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

47。切線的判定定理 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

48。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。 ②圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 ③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

49。切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線，平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。

50。弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

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31.曼海姆定理

曼海姆定理中使用了一種特殊的圓，有人稱其“偽旁切圓”.為什么叫偽旁切圓呢？因?yàn)椋诘呐郧袌A要切三角形的三邊所在的直線，如同內(nèi)切圓那樣做.而曼海姆定理中用的到的一個(gè)圓，切三角形的兩邊所在的直線以及三角形的外接圓.正是這一個(gè)特殊的圓帶來(lái)了很不尋常的性質(zhì).

先證明這個(gè)內(nèi)切的情形.

如圖，一圓內(nèi)切三角形ABC的外接圓于點(diǎn)D,分別切AB，AC于點(diǎn)E,F.求證：EF的中點(diǎn)K是三角形ABC的內(nèi)心.

偽旁切圓和外接圓位似，切點(diǎn)D是位似中心.

DEF和DE'F'這兩個(gè)三角形位似.如果取偽旁切圓的圓心O，和外接圓的圓心O'，那么，對(duì)應(yīng)的OF//O'F',OE//O'E'，（圖中未作圖）.

因?yàn)锳C垂直于OF，O'F'//OF,所以AC垂直于O'F'.根據(jù)垂徑定理，可知F'平分弧AF'C.同理，E'平分弧AE'B.

連接BF'，CE'則它們分別是角B和角C的平分線.那么，這兩線的交點(diǎn)是三角形ABC的內(nèi)心，設(shè)為I，

根據(jù)Pascal定理，可知，EIF三點(diǎn)公線，即點(diǎn)I在直線EF上.

那么，I是內(nèi)心，I就在角A的平分線上.而切線 AE=AF，三角形AEF是等腰三角形，所以，點(diǎn)I就與EF的中點(diǎn)K重合.因此EF的中點(diǎn)K，是三角形ABC的內(nèi)心.

內(nèi)切這種情況在考試中經(jīng)常出現(xiàn).但由于Pascal定理初中教科書沒(méi)有要求，所以，題目中常常有明確的提示，給出一個(gè)位似圓，使得Pascal定理容易證明.或者改變命題方式，簡(jiǎn)化證明.

這種情況下有平行線，就算教科書對(duì)位似沒(méi)有講解，利用平行和圓周角定理、弦切角定理也可以證明.

而外切的情況，相對(duì)復(fù)雜些.雖然同樣也是位似，但是是反方向的，就是逆位似.觀察起來(lái)略費(fèi)勁些.

但實(shí)際上，一般的，關(guān)于內(nèi)心有一個(gè)定理，關(guān)于旁心也會(huì)有個(gè)類似的定理.曼海姆定理也如此.

當(dāng)兩圓外切的時(shí)候，EF的中點(diǎn)就是三角形的旁心.

外切的時(shí)候，如果不利用位似，那么證明平行需要利用圓周角，弦切角，對(duì)頂角過(guò)渡，最終用內(nèi)錯(cuò)角.E'是優(yōu)弧AE'B的中點(diǎn)，它包含的圓周角是C，那么，它對(duì)的圓周角就是C的補(bǔ)角.它的一半，弧AE'所對(duì)的圓周角就是C的補(bǔ)角的一半，故CE'平分外角.

同理BF'平分另一個(gè)外角.

如上，證明旁心在直線EF上，且重合在點(diǎn)K上.

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求曼海姆定理的初中平面幾何證明。 曼海姆(Mannheim)定理一圓切△ABC的兩邊AB、AC及外接圓于點(diǎn)P、Q、T.則P

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)， 過(guò)D作兩圓公切線DE,設(shè)PQ中點(diǎn)為I，連結(jié)AD,ID,OD,IC,OQ,AO(與PQ交于I),CD,DQ。 可證得∠CDQ=∠ADQ=1/2∠ADC=1/2∠B,∠AQP=∠IDC,三角形AOD∽三角形DOI, 則IDCQ共圓，∠ODI=∠OAD,∠IDC=∠ODE-∠CDE-∠ODI=90°-(∠CAD+∠OAD)=∠AQP=1/2(180°-∠BAC)=1/2(∠B+∠ACB) ∠ICQ=∠IDQ=∠IDC-∠CDQ=1/2(∠B+∠ACB)-1/2∠B=1/2∠ACB 命題得證。 當(dāng)兩圓外切時(shí)，類似可證。

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